张量函数的表示问题，自二次大战后理性力学复兴以来，一直是该领域的关注中心之一。很多世界级大师比如R.S.
Rivlin, W. Noll等都在这方面做了很多工作，其中Rivlin因此获得了美国机械工程师协会的Timoshenko奖。Timoshenko奖可谓是美国以及世界力学界的最高成就奖（每年全世界1人，华人中林家翘和冯元桢先生获此殊荣），最近的获奖者M.E.
Gurtin的主要学术贡献领域也是理性力学。美国工程院院士鲍亦兴曾于1998年在美国《应用力学评论》上写道：“1950年以来，应用力学受到了科学和工程领域内3个发展的强烈影响——理性力学的复兴、电子计算机和新计算方法的发明以及太空探索”。
 应用力学的大多数分支属于连续介质力学体系，该体系除本构方程外的其他方程，如质量守恒、动量平衡、动量矩平衡、能量平衡、熵不等式、变形几何关系等等，一概具有各向同性性质，且基本上与材料无关。因此，随着计算机和计算力学等的发展，20世纪60年代以来确定本构方程为力学研究的核心问题，而张量函数表示则是研究本构方程必不可少的理性基础。
20世纪50～60年代张量函数表示有重大发展，解决了多项式张量函数表示的主要问题。20世纪70年代以来，大量新的工业应用、新材料出现和研制，对各向异性、一般形式（不限于多项式）的张量函数表示提出了迫切要求。然而到20世纪80年代末在一般张量函数表示方面的努力遇到了很大困难。例如，有许多著名理性力学专家Rivlin,
Noll, Wang, Smith, Boehler等参与的各向同性下矢量和二阶张量的一般性张量函数表示的最终建立，花费18年之久（1969～1987年），对其结果是否具备完备性和不可约性，曾经历过一再反复和很大争议。陷入困境的技术原因是有待于提出建立任意张量函数表示的有效新方法，深层次的原因是人们对于各向异性的内在结构、特征、分类、作用等缺乏系统的认识。
由清华大学郑泉水教授领导的课题组，其有关上述问题的研究在国家自然科学基金面上项目和国家杰出青年科学基金项目的资助下，取得如下主要成果：
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首创各向异性张量函数的完备且不可约表示的系统且简便的方法。第一次针对所有种类材料对称性，给出了具有实质意义的完整的张量函数表示。首次获得高阶张量函数表示的系统性结果。首次给出高阶张量正交不可约分解的系统建立方法。在上述方面共发表了20余篇国际期刊论文，如首批各向异性表示的5篇成果论文曾在《国际工程科学杂志》1993年第10期上同时发表。
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提出了一套研究任意阶张量的各向异性结构的系统方法，并应用于首次实现对任意各向异性的张量表征，首次实现对任意高阶张量（可表征各种可能的线性物理性质）的完备的各向同性和各向异性分类。其代表性工作曾获《国际工程科学联合会》和《国际工程科学杂志》首届（唯一）杰出论文奖。
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“空间各向同性原理”认为，任何本构方程都可以通过引进表征各向异性的所谓结构张量作为参变量，而转化为各向同性张量函数。这是一个有着广泛影响的著名的理性力学猜想，意义重大而深远，可追溯到1963年，但历时30余年未能得到证实。在该猜想的启发下，创造性地提出了建立现代张量函数表示理论完整体系所需的5大命题，并给予了完整解决。这些命题的解决，首次回答了如何对所有各向异性进行分类并实现张量表征的问题，首次回答了能否把任意各向异性张量函数转化为各向同性形式的张量函数的问题，首次证实了“空间各向同性原理”并明确了其普遍适用于连续介质模型，首次证明了有限形式张量函数表示的普遍存在性。与这些命题相关的一系列原理和定理，构成了现代张量函数表示理论及其应用基础的完整的体系框架。
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在张量函数表示理论应用于本构方程不变性研究方面，做出了多方面的开拓性工作，如：高对称性材料的本构、强度和屈服关系；损伤材料内结构与损伤张量的内在关系；损伤和高分子材料内结构演化；细观力学新方法等等。发现了非均匀材料的一系列新的不变性性质和减弱依赖性质。
上述研究成果为各种各向同性和各向异性、线性和非线性的物理和力学性质的研究，奠定了普遍适用的理性基础，在国际上产生了广泛影响。《国际工程科学杂志》是理性力学的最主要的学术刊物之一，该刊物把首届的唯一的杰出论文奖于1994年授予郑泉水教授和他的合作者；国际力学最高年鉴《应用力学评论》邀请他们撰写发表了以该项目成果为主的长篇综述（1994，中译本10万余字）；世界著名理性力学家Eringen教授在他写的Microcontinuum
Field Theories(1999)书中详细介绍了该项目的工作；郑教授作为力学影响因子最高的杂志JMPS的特邀主编，发表了有关最新进展的专集一期（2001）。
项目成果被广泛应用于建立复杂材料行为的本构模型，如：损伤力学、损伤诱导的各向异性行为的模型和演化；塑性力学、塑性诱导的各向异性模型；复合材料本构、强度和失效模型；材料优化设计；非均匀材料的力学,
高分子材料本构模型和演化；生物软组织本构模型,
混合物本构；液晶高弹体；压电和铁电模型；非弹性行为、粘弹性模型、蠕变模型；各向异性非线性弹性；多相流、流晶、流体薄膜、表面与基体相互作用模型等等。
该项目的成果获得2004年度国家自然科学奖二等奖。 |
